Teoretično ozadje problema

Nalogo sta napisala: Matic Orehar, Tomaž Šimnovec
Fakulteta za Matematiko in Fiziko
Jadranska ulica 21

Uvodno razmišljanje o problemu

Na prvi pogled se morda zdi naloga popolnoma nesmiselna. Zakaj naj bi nekaj sploh lahko padalo hitreje od gravitacije?

Razlaga pojavi na podlagi predhodnega znanja in eksperimentalnega dela

Ko opazujemo padajoče predmete, opazimo, da se pospešek različno oblikovanih teles razlikuje. Na hitrost padajočega telesa vpliva kar nekaj dejavnikov. Dejavniki omenjeni v tem delu niso bili nujno vključeni v izračune in so tu omenjeni le za dodaten premislek.
Ko preberemo, da nekaj pada hitreje od prostega pada, to ponavadi vzpodbudi v bralcu dvom. Preučevanja padanja telesa se lahko lotimo na dva načina:

1.Preučevanja prostega pada z energijskim zakonom; Predpostavimo, da telo in okolica ne izmenjata toplote pri padcu. Padajoče klade imajo na začetni višini tj. višina, na kateri jih držimo pred spustom, največjo potencialno energijo (Wpot=max). Po padcu je njihova potencialna energija enaka nič (Wpot=0). Potencialna energija se spremenija z višino (komp. z) enačba, ki opisuje njeno spreminjanje je: dWpot= mg dz. Na račun manjšanja potencialne energije se povečuje kinetična energija (Wkin). Enačba, ki opisuje spreminjanje kinetične enregije je: Wkin=1⁄2mv2. Enačbo lahko zapišemo v diferencialni obliki: dWkin=m v dv.Reši jo integral v mejah 0 do vkončna (na enačbi bo morala biti tilda, zaradi matematične korektnosti). Kinetična energija je na začetku 0, ker je hitrost 0, zato pa je potencialna energija največja, saj je z največji. Kintetično in potencialno energijo poveže Energijska enačba:

dA=dWpot+dWkin

Delo na levi strani enačbe lahko definiramo kot vsoto vseh zunanjih sil, ki delujejo na telo pomnoženo z razdaljo, ki jo telo prepotuje. Premislek sledi, delo vseh zunanjih sil je 0. Desno stran enačbe rešimo in celotno enačbo preoblikujemo: Wkin = -Wpot. Enačba za maksimalno hitrost ima končno obliko:

vmax= √ 2gz 

Vendar ima telo v nekaterih poizkusih res večjo hitrost od vmax. Če pogledamo nazaj enačbo za hitrost, lahko povemo, da se se g ne spreminja (ker je z majhen) in je določen kot g = g0=9,81m/s2. Hitrost padanja telesa je neodvisna od mase telesa. Razlog za povečanje hitrosti mora biti sila. Torej vsota zunanjih sil na telo ni enaka nič. Da bi razumeli, kaj bi ta sila bila, pogledamo počasne posnetke. Izkaže se, da so vrvice pred spustom napete, ko pa telo spustimo in pada se sila v vrvici zmanjša oz je 0 in vrvice niso napete.
Ko prva klada pod nekim kotom zadane podlago, se vrvica ponovno napne, kar pomeni, da se v vrvici pojavi sila (Fvr). Ker sta vrvici dve (na vsakem koncu ena) je treba povedati v kateri vrvici se sila pojavi, saj se obe vrvici ne napneta.

Kar je opisano v zgornjem odstavku sledi iz teorije in je bilo predhodno razmišljanje o problemu. Meniva da je prav da je to dejsto posebej poudarjeno


Skica prvih dveh klad, ko prva zadane podlago pod kotom φ:

Na skici sta označeni točki A in B. Glede na primer prikazan v skici ptototip tla najprej zadane v točki A. Klade s tlemi oklepajo kot 35°. Sila gravitacije, ki prijemlje v težišču klade ima smer navpično proti tlem in je v vsaki kladi enaka. Prva klada pade tako, da se najprej dotakne tal v točki A. Padanje prve klade se stavi, ko se klada dotakne še točke B. Med A in B se v vrvici, ki prvo klado povezuje z drugo pojavi sila (prej je bila sila v vrvici enaka 0). Sila je usmerjena proti tlem, in zato pospeši padanje druge klade. Pospešek prve klade torej ni več enak g0 , temveč je enak a, a > g0.
skica_pada

Ko prva klada obmiruje na tleh, je sila v vrcici(vrvica B) ponovno 0. Je pa sila v vrvici A, ki potem deluje na tretjo klado. Opazimo, da večje kot je število klad v verigi, večja bo ta dodatna sila zaradi posameznih prispevkov.
Kako lahko razložimo ta prispevek sile?

Razmislek je dobro začeti preprosto pri eni sami palici.
Palica sama seveda pada s pospeškom zaradi gravitacije. Do prispevka sile pride v primeru, ko se en del palice dotika tal, drugi pa je še vedno v zraku. Takrat na palico deluje navor, ki se ga da precej preprosto izračunati in je enak:

M = mgl⁄2cos(ϕ)

Očitno je torej, da bo pri najinih poskusih pomemben čas od takrat naprej, ko se bo prva letvica verige dotaknila tal.

Matematični opis dogajanja v eksperimentih

Kot je že bilo omenjeno, pri opazovanju pojava zanmarimo vpliv zračnega upora in sile vzgona. Ključni dejavnik, ki pospešuje celotno padajočo verigo je navor, ki se pojavi, ko prva klada zadane tla. Navor deluje kot sila pomnožena z ročico. Silo definiramo kot silo teže, se pravi zmnožek mase in gravitacijskega pospeška. Za maso upoštevamo maso klade, ki zadane tla. Ker so vse klade v verigi enake, deluje na vsako enaka gravitacijka sila. Verjetno bi bilo treba obrazložiti še izbiro ročice. Ročico lahko zapišemo kot polovico dolžine pomnoženo z pravokotno projekcijo dolžine na podlago.


Če napišemo enačbo v diferencialni obliki lahko vidimo da se navor spreminja glede na spremembo kota. Na levi strani enačbe je torej dM, na desni pa dφ. Meje integrala na levi so od 0 do M, na desni strani enačbe pa ob 35 do 0 stopinj. Se pravi da, medtem ko se φ približuje 0 se nam veča navor M. Kot dodatek je vredno omeniti vso maso postavimo v težišče. To sprva ni bilo tako samoumevno, vendar lahko to trdimo na podlagi opravljenih poskusov. Kontrolna deščica se je vedno obnašala podobno. Padanje sva zato zgolj preko opazovanja hitrosti težišča.


Kaj se zares dogaja z navorom (če pogledamo kako se navor sprmenija ob celotnem padu, in ne samo samo pri dveh kladah)? Ko se vse klade v zraku, navora ni. Ker ni navora vidimo da nitke niso napete. Klade padajo tako z popeškom gravitavitacije (odstopanje pri nekaterih poskusih se pojavi zgolj zaradi napake pri spuščanju kladic. Eno vrvico spustimo hitreje kot drugo). Ko se prva klada dotakne tal deluje na na drugo klado (drugo po vrsti od tal navzgo) sila. To je sila vrvice, ki se napne. Sila vrvico napne v trenutku in povzroči da je vrvica napeta dokler se prva klada ne dotakne tal oz. na tleh ne obmiruje. Izračunamo lahko čas delovanja sila vrvice na drugo klado, če vemo koliko časa traja od trenutka ko se prva klada dotakne tal do trenutka ko obmiruje.

Ko prva klada obmiruje se druga klada dotakne tal. Vrvica med drugo in tretjo klade se napne in podoben učinek kot med prvo in drugo klado se pojavi tudi med drugo in tretjo klado.

Vse o čemer sem pisal zgoraj velja, vendar pa je treba na celotno stvar gledati še malo drugače. Ko se prva klada dotakne tal in se napne vrvica med prvo in drugo klado se navor ne prenese le na naslednjo klado, temveč se prenese po celotni verigi klad. Prispevki navora se seštevajo. Zato veriga, ki vsebuje večje število daljših klad, ki so pod večjim naklonov pada s pespoškom, ki je večji od pospeška gravitacije.

Gibanje lahko opišemo z dokaj preprostim premislekom. Začnemo kar z enačbo;
M=l/2mgcos(φ)

Navor napišemo analogno sili pri Newtonovem zakonu M=Jα. Kotni pospešek lahko zapišemo kot α=a/l. Zanima nas komponenta pospeška v smeri padanja verige torej;

ay=acos(φ)

Najpomembnejši del razmisleka je pri vztrajnostem momentu. Tu izkoristimo lastnost vztrajnostnega momenta in sicer aditivnost.
V verigi je vztranjostni moment sestavljen iz dveh delov, in sicer iz

J1=(l2)⁄3m
ki je kar običajni vztrajnostni moment palice in
Ji=mil2

Ji se v času padanja spreminja, nanaša pa se na dejstvo, da lahko gledamo na vse palice razen na tisto, ki se trenutno dotika tal, kot na točkasto maso, zbrano, kjer je vpeta vrvica na dvignjeni del spodnje klade. Skupni vztrajnostni moment je torej vsota obeh delov. Ko ena klada pade do konca, se sistem znova giblje samo pod vplivom gravitacijskega pospeška. Ko se naslednja klada dotakne tal, se postopek ponovi, edina razlika je, da se vztrajnost Ji zniža, ker pada manj klad. Tako lahko po delih opišemo gibanje sistema. To velja seveda ob nekaj pomembnih predpostavkah. Najbolj pomembne se tičejo vrvi. Predpostavila sva, da so vrvi ves čas do konca raztegnjene, torej ne ohlapne, da niso prožne in da so lahke.

Povedano drugače

Gibanje lahko opišemo z dokaj preprostim premislekom. Začnemo kar z enačbo

M=l/2mgcos(φ)

Navor napišemo analogno sili pri Newtonovem zakonu
M=Jα

Kotni pospešek lahko zapišemo kot;
α=a/l

Zanima nas komponenta pospeška v smeri padanja verige torej;
ay=a*cos(φ)

Najpomembnejši del razmisleka je pri vztrajnostem momentu. Tu izkoristimo lastnost vztrajnostnega momenta in sicer aditivnost. V verigi je vztranjostni moment sestavljen iz dveh delov, in sicer iz J1=(l2)⁄3m, ki je kar običajni vztrajnostni moment palice in;
Ji=mil2

J1 Je vztrajnostni moment palice, ki se dotika tal

Ji je vztrajnostni moment vseh palic, ki se ne dotikajo tal.

Predstavljamo si, da je vsa masa teh palic zbrana v točki na vrhu palice, ki se dotika tal. Med padanjem se Ji spreminja, in sicer vsakič, ko se nova palica dotakne tal se zmanjša masa za eno klado. Skupni vztrajnostni moment je torej vsota obeh delov. Ko ena klada pade do konca, se sistem znova giblje samo pod vplivom gravitacijskega pospeška. Ko se naslednja klada dotakne tal, se postopek ponovi, edina razlika je, da pada manj klad in je zato Ji nižji. Tako lahko po delih opišemo gibanje sistema.
To velja seveda ob nekaj pomembnih predpostavkah. Najbolj pomembne se tičejo vrvi. Predpostavila sva, da so vrvi ves čas do konca raztegnjene, torej ne ohlapne, da niso prožne in da so lahke. Druga pomembna predpostavka je bila, da vsaka nova klada pade na tla in ne na prejšnjo klado, kar velja za majhno število klad.

Kaj zavira padanje?

Telesa, ki prosto padajo, padajo zaradi vpliva gravitacijske sile. Telo, ki pada v atmosferi doseže maskimalno hitrost padanje, ko je sila gravitacije uravnotežena z silo vzgona in silo zračnega upora. Sila vzgona in sila zračnega upora imata nasprotno smer sile gravitacije. Pri obravnavi podatkov eksperimenta sva silo zračnega upora in silo upora zraka zanemarila, saj je vpliv teh dveh sil zanemarljivo majhen in ni ključen za razumevanje pojava.
Kot dodatek bi lahko omenila, da je za silo vzgona v zraku ključna gostota zraka(ta je odvisna od temperature zraka) in gostota materiala tj. v najinem primeru les. Zračni upor pa lahko izračunamo po formuli:

Fupor=1⁄2ρ v 2Cupora A


Kot je bilo omenjeno zgoraj, teh enačb nisva upoštevala pri računanju, a so tu omenjene zgolj za dopolnilo teorije.

Eksperimentalne nedoločenosti, ki vplivajo na končni rezultat

Na podlagi poskusov z različnimi verigami lahko poveva nekaj o dejvnikih, ki so bolj ali manj vplivajo na izid meritev.

1. Dimenzije palic.

Za večino verig sva morala sama izdelati prečke, na voljo pa sva imela zelo osnovno orodje, ki nama ni omogočalo velike natančnosti pri izdelavi palic. To pomeni, da so bile prečke v resnici različnih dimenzij in do manjše mere celo mas. Poleg tega palice niso bile vpete čisto pri robu, vendar malo proč.

2. Koti.

Eden izmed večjih izzivov pri sestavi verige je bilo fiksiranje palic na vrvici. Sprva sva hotela sestaviti verigo, kjer bi lahko po lastni volji spreminjala kot, vendar se je že samo držanje konstantnega kota izkazalo za zelo velik izziv. V resnici nama to ni v popolnosti uspelo. Zelo opazno je bilo, da so bili koti pri posameznih prečkah različni. To vodi do še ene nedoločenosti, ki se nama je zdela najpomembnejša in je tudi med poskusi povzročala največ težav. Palice niso bile dovolj močno pritrjene na vrvico, kar je pomenilo, da se navor ni popolnoma prenašal od spodnje palice do ostalih. Ta problem je ekvivalenten temu, da so vrvice ohlapne, kar je bil tudi eden izmed problemov, s katerimi sva se soočila.

3. Manj pomembne nedoločenosti.

V poskusih je bilo v resnici še mnogo več nedoločenosti, za katere meniva, da so manj pomembne. To vključuje omejeno zajemanje podatkov zaradi kamere, maso in raztegljivost vrvice, vpliv vzgona in zračnega upora itd.

Obrazložitev zakaj nikoli nisva testirala prototipa, ki je bil narejen iz zelo kratkih, a debelih klad:

V zgoraj navdeni enačbi za navor nastopata tako masa, kot tudi polovica dolžine. Oba člena imata enako potenco. Prototip iz kratkih a debelih klad je imel dokaj podobno,a malo večjo maso kot standardni prototip, vendar je imel bistveno krajši l. Navor pri tem prototpi bi bil manjši ali kot pri ostalih in posledično bi bil tudi pospešek manjši.Dodatne komplikacije predstavljajo tudi luknjice v kladah. Problemi nastopijo pri večanju kota, saj plastelin le slabo drži klade v pravilni legi.